Hier geht es jetzt um Kombinatorik
Oder genauer gesagt darum
Wie viele Möglichkeiten man insgesamt hat
Wenn man k mal aus n Elementen wählt, doch
Bevor man sich gleich mit der Allgemeinhalt quält
Machen wir das mal zumindest halbwegs alltagsrelevant
Am Beispiel Fahrradzahlenschloss
Wahrscheinlich jedem bekannt
Hier kann man fünf Stellen verdrehen
Und wir fragen uns nun
Wie viele Möglichkeiten gibt es dies zu tun
Nun
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die erste stelle?
Zehn
Und für die zweite Stelle?
Zehn
Und für die Dritte Stelle?
Zehn
Und für die vierte?
Na zehn
Und für die fünfte ebenfalls zehn
Das macht insgesamt zehn mal zehn mal zehn mal zehn mal zehn
Also zehn hoch fünf gleich hunderttausend
Und man kann sehn
Kann man aus k stellen Allgemein aus n Optionen wählen
Wird man k hoch n Möglichkeiten dafür zählen
Soweit alles verstanden? Okay
Nächstes Beispiel acht Läufer beim 100 Meter Sprint
Die frage ist jetzt nicht nur wer von denen gewinnt
Sondern wir schauen uns jetzt die komplette Reihenfolge an
Und wollen wissen auf wie viele Art und Weisen es sein kann
Das die im Ziel ankommen und dadurch ne Reihenfolge entsteht
Das nennt man Permutation
Und das geht ebenfalls nach dem Prinzip
Das man sich nacheinander fragt
Wie viele Möglichkeiten man an jeder Stelle jeweils hat
Als erste Platz kommt einer der acht Läufer an
Doch weil der ja nicht gleichzeitig zweiter werden kann
Gibt es erstmal nur noch sieben Optionen, wobei
Es danach sechs gibt dann
Fünf, vier, drei und dann zwei
Und für den Letzten Platz bleibt dann nur noch eine Option
Macht also acht Fakultät und bei einer Permutation
Von genau n Elementen wird das n Fakultät
Doch was ist eigentlich wenn es uns nur darum geht
Wie viele Möglichkeiten man für die Medaillen Plätze hat
Das geht eigentlich genau so wie bisher
Doch anstatt das bis zum letzten Platz zu machen
Geht man nur bis Platz drei
Also acht mal sieben mal sechs ist hier die Antwort
Wobei das Allgemein auch geht wenn ich k mal aus n Kugeln ziehe
Für die erste Kugel gibt's dann erstmal n viele Möglichkeiten
Und für jede weitere Kugel eine Weniger
Und das ganze k mal
Also steht hier ja im Wesentlichen so etwas wie n Fakultät
Nur das nach den ersten k Faktoren dann der Rest fehlt
Doch dividiert man nun mit n minus k Fakultät
Ist der Rest der hier steht genau das worums geht
Okay
Und unser letztes Beispiel soll jetzt Lotto sein
Da kreuzt man sechs Zahlen an auf dem Lottoschein
Und die Frage die man sicherlich schon kommen sieht
Ist wie viele Kombinationen es hier gibt
Beim ersten Kreuz kann ich aus 49 Zahlen wählen
Und nach dem ich das gemacht hab nur noch aus 48 wählen
Und dann 47, 46, 45, 44
Sieht bisher aus, wie beim 100 Meter lauf
Doch wird sich dadurch unterscheiden
Dass es nicht darum geht
In welcher Reihenfolge wann welches Kreuz entsteht
Und für jeweils sechs Zahlen gibt's ja immer sechs Fakultät
Permutationen bei denen der gleiche Lottoschein entsteht
Doch da es uns ja hier nur um verschiedene Lottoscheine geht
Dividieren wir das ganze nun mit sechs Fakultät
Und kommen dadurch insgesamt auf
13.983.816 Kombinationen
Also das man sechs richtige trifft
Ist zwar möglich
Aber wahrscheinlich ist das nicht
Und jetzt wird noch allgemein die Formel bestimmt
Wenn man aus n Elementen genau k heraus nimmt
Und wir wissen schon
Wenn es da um die Reihenfolge geht
Ist das n Fakultät durch n minus k Fakultät
Doch ist die Reihenfolge egal
Kann ich für jede Möglichkeit mit ihren
K Fakultät Permutationen dividieren
Und diese Formel braucht man immer wieder
Und man nennt das hier auch n über k
Den Binomialkoeffizient
Und ich würd sagen, wenn man bis alles versteht
Sind für die Kombinatorik jetzt gute Grundlagen gelegt