Das mit den Vektoren Können nicht nur Professoren Das kann jeder Mensch Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren Doch bei den Vektoren Betrachtet man vielerlei Faktoren Hast du die Übersicht verloren? Dann hör gut zu und spitz' die Ohren! Es gibt unendlich viele Vektorräume. Das nur nebenbei Denn in diesem Song geht es um den R-hoch-3 Das heißt bei jedem Vektor sind in diesem Falle genau drei Reelle Zahlen als Bestandteile dabei In einem 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem Kannst du 'nen Vektor als sowas wie 'nen Pfeil ansehen Bei dem sind Ausbreitungen in x-, y- und z-Richtung dabei Genausoviele wie Zahlen in unserem Vektor, nähmlich 3 Na das passt ja, ist ja schön, also fangen wir mal an Zu gucken was man damit jetzt so alles machen kann Bei der Addition zweier Vektoren gest du den ersten Pfeil entlang Von dort setzt du den zweiten an und hast die Summe erkannt Das Vielfache eines Vektors ist dann gestaucht oder gestreckt Und bei 'ner negativen Zahl wird noch 'ne Spiegelung vollstreckt Bei der Subtraktion wird einfach das minus-eins-fache addiert Also der Vektor den man abzieht einfach andersrum platziert Durch Verschieben von dem Pfeil ändert sich der Verktor nicht Doch dadurch hat man auf die Dinge manchmal eine neue Sicht So ist die Differenz ein Vektor, hier von B nach A Und substrahierst du zwei Ortsvektoren wird dir klar Um auf den Vektor vom einen Punkt zum anderen zu kommen Rechnest du anscheinened immer hinten minus vorn Addierst du Vielfache von Vektoren nennt man diese Aktion Allgeimein weil man's oft braucht Linearkombination Das Ergebnis ist ein Vektor und besonders interessant Ist wenn der Nullvektor rauskommt man hat zwar schnell erkannt Dass wenn man immer nur mit null mutipliziert und dann addiert Das diese Lösung anscheinend immer funktioniert Doch gibt es mit diesen Vektoren keine andre Lösung weit und breit Dann Spricht man hier von linearer Unabhängigkeit Für zwei Vektoren heißt das, Dass sie nicht in die gleiche Richtung gehn Bei drei Vektoren, dass sie nicht in der gleichen Ebene stehn Das mit den Vektoren Können nicht nur Professoren Das kann jeder Mensch Denn er ist im R hoch 3 geboren Doch bei den Vektoren Betrachtet man vielerlei Faktoren Hast du die Übersicht verloren? Dann hör gut zu und spitz' die Ohren! Soll ich dir mal den Betrag eines Vektors verraten? Das ist die Wurzel aus der Summe, der Quadrate, der Koordinaten Womit man sozusagen auf die länge des Vektors guckt Und dar das jetzt bekannt ist geht's gleich weiter mit'm Skalarprodukt Skalare sind im R-hoch-3 einfach nur reelle Zahlen Und eine von denen werden wir hier als Ergebnis haben Vektor a mal Vektor b ist, vergiss das bitte nie Betrag von a mal Betrag von b mal der cosinus von phi Und phi ist der Schnittwinkel der Vektoren a und b Also falls du den mal brauchst stellst du das einfach um, OK Wenn du jeweils die gleichen Koordinaten multiplizierst Kommst du auf das Skalarprodukt wenn du das alles noch addierst Zwei Vektoren sind zueinander immer dann orthogonal Wenn ihr Skalarprodukt null ist. Das ist ja auch normal Denn dann schneiden die sich doch im rechten Winkel und naja Der Cosinus zu 90 Grad ist null, na klar Zu jedem Punkt gibts ja den Ortsvektor und drei Mal darfst du raten Ortsvektor und Punkt haben die gleichen Koordinaten Das ist praktisch, denn wenn man einen Vektor berechnen kann Hat man 'nen Punkt beziehungweise dessen Ortsvektor dann Nimmst du 'nen Vektor und Vielfach's eines and'ren dazu Kommst du auf ne ganze Menge von Punkten und schon hast du Eine Gleichung für eine Grade im Raum Und wenn wir uns da mal kurz dieVektoren anschau'n Stützt die eine die Grade und der andre gibt die Richtung an Und das ist ein Prinzip mit dem man Ebenen angeben kann Da ist dann noch ein zweiter Richtungsvektor dabei Aber bei Ebenen geht's übrigens auch parameterfrei Für jede der Koordinaten kannst du'ne gleichung aufschreiben Und dann die Parameter eliminieren und es bleiben Nur noch x, y und z in einer Gleichung stehen Und damit kannst du dann die Ebene in der Koordinatenform sehen Das mit den Vektoren Können nicht nur Professoren Das kann jeder Mensch Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren Doch bei den Vektoren Betrachtet man vielerlei Faktoren Hast du die Übersicht verloren? Dann hör gut zu und spitz' die Ohren! Für Ebenen gibt's übrigens noch eine Variante Die Normalenform, denn bei Ebenen ist das Interessante Dass es mit einem Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht Und einem der das Ganze stützt auch schon wieder geht Und Ortsvektor minus Stützvektor ist immer orthogonal Zum Normalenvektor also ist bei der Ebene jedes mal Dieses Skalarprodukt hier 0 und diese Gleichung reicht aus Und ist der Betrag des Normalenvektors Eins kommt die hessische Normalenform raus Neben dem Skalarprodukt gibt's übrigens, hör zu Noch das Kreuzprodukt bei den Vektoren und da rechnest du Erst das mal das minus das mal das und das mal das minus das mal Das und das mal das minus das mal das kreuzprodukt, ey voll krass Und das Ergebnis ist ein Vektor und der ist Orthogonal zu den beiden und der Betrag davon ist So groß wie die Fläche von dem Parrallelogram Was die Vektoren aufspannen, sodass ich damit Flächen berechnen kann So ist das Dreieck die hälfte von dem Parallelogram Sodass ich ein halb mal Betrag von a kreuz b nehmen kann Und auch der Vektor ist beim Kreuzprodukt sehr interessant Denn durch die beiden rechten Winkel, hast du vielleicht schon erkannt Wenn du 'ne Ebene in Parameterform vor dir hast Und dann das Kreuzprodukt von den beiden Richtungsvektoren machst Hast du den Normalenvektor und zusamm'n mit dem der die Ebene stützt Kannst du die Normalenform angebenfalls dir das mal was NUTzt Oftmals brauch man aber die Koordinatenform, doch kein Problem. Die Koeffizienten sind immer die Koordinaten der Normalenvektoren. Das heißt du nimmst aus dem Normalenvektor die Zahlen Und schreibst sie vor das x, Das y und vor das z und nimmst den Stützvektoren Und setzt ihn in die Gleichung einfach ein und damit hast du dann Den letzten Parameter noch gefunden, also kannst du dann Die Ebene in der Koordinatenform angeben, bleibt nur noch die frage: Was bringt einem das im Leben? - Ach, egal! Das mit den Vektoren Können nicht nur Professoren Das kann jeder Mensch Denn er ist im R hoch 3 geboren Doch bei den Vektoren Betrachtet man vielerlei Faktoren Hast du die Übersicht verloren? Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!